Nga Michael Alba
Shumë njerëz janë të tmerruar nga simbolet e errëta dhe rregullat strikte të matematikës, duke hequr dorë nga ndonjë problem, sapo shohin të përfshirë numra dhe shkronja. Por ndërsa matematika mund të jetë e dendur dhe e vështirë në disa raste, rezultatet që mund të dëshmojë janë ndonjëherë të bukura, tronditëse, ose thjesht të papritura.
10. Teorema e 4 ngjyrave
Kjo teoremë u zbulua fillimisht në vitin 1852 nga Frensis Gutrie, i cili asokohe ishte duke u përpjekur të ngjyroste në një hartë të gjitha qarqet e Anglisë (kjo para se të shpikej interneti, qe një punë që kërkonte goxha mund). Ai zbuloi diçka interesante – kishte thjesht nevojë për një maksimum prej katër ngjyrash për të siguruar që asnjë qark të mos kufizohej me të tjerët me një ngjyrë të njëjtë. Gutrie pyeti veten nëse kjo ishte apo jo e vërtetë për çdo hartë, dhe çështja u shndërrua në një kuriozitet matematikor që mbeti i pazgjidhur për vite më rradhë.
Në vitin 1976 (më shumë se një shekull më vonë), ky problem u zgjidh përfundimisht nga Kenet Epël dhe Volfgang Haken. Prova që ata zbuluan qe mjaft komplekse dhe e mbështetur pjesërisht në një kompjuter, por ajo theksonte se në çdo hartë politike (të themi atë të shteteve) janë të nevojshme vetëm 4 ngjyra për të ngjyrosur sipërfaqen e secilit shtet individual, në mënyrë që asnjë shtetet të mos kufizohet me shtetet që kanë të njëjtën ngjyrë në hartë.
9. Teorema e Brauerit e vendndodhjes fikse
Kjo teoremë vjen nga një degë e matematikës të njohur si Topologjia, dhe u zbulua nga Lyisen Brauer. Ndërsa shprehja e saj teknike është mjaft abstrakte, ajo ka shumë implikime interesante në botën reale. Për shembull kemi një tabllo (Mona Lizën e Da Vinçit), dhe bëjmë një kopje të saj. Ne mund të bëjmë çdo gjë që duam me këtë kopje – ta bëjmë më të madhe apo më të vogël, e rrotullojmë, zhubrosim, çdo gjë.
Teorema e Brauerit e pikës fikse, thotë se nëse e vendosim këtë kopje mbi pikturën origjinale, duhet të ketë të paktën një pikë tek kopja që është e vendosur saktësisht në të njëjtën vend si tek me tablloja origjinale. Kjo mund të jetë pjesë e syrit së Mona Lizës, veshit, apo ndoshta buzëqeshja, por duhet të ekzistojë. Ajo funksionin gjithashtu në 3 dimensione:imagjinoni të kemi një gotë ujë, dhe marrim një lugë duke e përzier sa të kemi dëshirë. Sipas Teoremës së Brauerit, do të ketë të paktën një molekulë uji që do gjendet saktësisht në të njëjtin vend ku ndodhej para se të fillonim përzierjen.
8. Paradoksi i Rasëllit
Në fillim të shekullit XX-të, shumë njerëz u magjepsën nga një degë e re e matematikës e quajtur Teoria e Grupit. Në thelb, një grup është një koleksion objektesh. Mendimi i kohës ishte që çdo gjë mund të shndërrohej në një grup:grupi i të gjitha llojeve të frutave, grupi i gjithë presidentëve amerikanë, ishin që të dy plotësisht të vlefshëm. Përveç kësaj, dhe kjo është e rëndësishme, grupet mund të përmbanin grupe të tjera.
Në vitin 1901, matematikani i njohur Bertrand Rasëll bëri bujë kur e kuptoi se kjo mënyrë të menduari ka një krisje fatale:pra, jo çdo gjë mund të përbëjë një grup. Rasëll mori shembuj të ndryshëm, dhe përshkroi një grup që përmbante të gjitha këto grupe, por të cilat nuk e përmbanin veten e tyre. Tërësia e të gjitha frutave nuk e përmban vetveten (juria është ende në dyshim nëse aty duhet të përfshihet apo jo edhe domatja), kështu që mund të përfshihen në grupin e Rasëllit, së bashku me shumë të tjerë.
Po në lidhje me grupin e Rasëllit? Ai nuk përmban gjë në vetvete, kështu që me siguri duhet të përfshihet si. Por prisni … tashmë ai përmban vetveten, ndaj në mënyrë të natyrshme ne duhet ta përfshijmë atë. Por duhet ta kthejmë sërish mbprasht… dhe kështu me radhë. Ky paradoks logjik, shkaktoi një reformim të plotë të Teorisë së Grupit, një nga degët më të rëndësishme të matematikës së sotme.
7. Teorema e fundit e profesor Ferma
E mbanin mend teoremën e Pitagorës që nga koha e shkollës? Ajo ka të bëjë me trekëndëshat kënddrejtë, dhe thotë se shuma në katror e dy brinjëve më të shkurtra është e barabartë me katrorin e brinjës më të gjatë (x2 + y2 = z2). Teorema më e famshme e Pier dë Ferma, është se i njëjti ekuacion nuk është i vërtetë nëse zëvendësojmë katrorin me një ndonjë numër më të madh se 2 (për shembull x3 + y3 = z3), për aq kohë sa x, y, dhe z janë numra pozitivë.
Sikurse shkroi vetë Ferma:”Unë kam zbuluar një provë vërtetë të mrekullueshme të kësaj, që kjo diferencë është tepër e ngushtë për t’u frenuar”. Kjo ishte vërtetë shumë negative, pasi ndërsa Ferma e prezantoi këtë problem në vitin 1637, ai mbeti i paprovuar për një kohë mjaft të gjatë. Dhe ndërkohë, unë them se është vërtetuar në vitin 1995 (358 vjet më vonë) nga një njeri me emrin Endrju Ualjs.
6. Përcaktimi i kohës së Apokalipsit
Është një supozim i drejtë se shumica e lexuesve të këtij artikulli, janë qenie njerëzore. Duke qenë njerëz, kjo hyrje do të jetë veçanërisht e kthjellët:matematika mund të përdoret për të përcaktuar se do të shfaroset specia jonë. Gjithësesi përmes përdorimit të probabilitetit.
Argumenti (që është zbuluar dhe rizbuluar disa herë gjatë 30 viteve të fundit) thotë në thelb se epoka e njerëzimit është pothuajse në limitet e fundit.
Një variant i argumentit (që i atribuohet astrofizikantit Xh. Riçard Got) është çuditërisht i thjeshtë:nëse dikush e konsideron kohëzgjatjen e plotë të qënies njerëzore një afat kohor që nga lindja deri në vdekje, atëherë ne mund të përcaktojmë se ku gjendemi aktualisht në këtë rrugëtim. Përderisa e tashmja është vetëm një pikë e rastit në ekzistencën tonë si një specie, atëherë mund të themi me 95 përqind saktësi se kemi konsumuar 95 të kohës.
Nëse themi se aktualisht kemi konsumuar 2.5 përqind të afat të ekzistencës njerëzore, kemi jetëgjatësinë më të madhe. Përkundrazi nëse themi se jemi në stadin e 97.5 përqind të ekzistencës njerëzore, kemi jetëgjatësinë më të vogël të jetës. Kjo na lejon të kemi një gamë të jetëgjatësisë së pritshme të racës njerëzore. Sipas Gotit, ekziston një shans prej 95 përqind që qeniet njerëzore do të vdesin diku mes 5100 dhe 7.8 milionë vjet nga tani.
5. Gjeometria jo-Euklidiane
Një pjesë pjesë e matematikës që mund të mbani mend nga shkolla është gjeometria, që është pjesë e matematikës, ku vizatimi i formave gjeometrike ishte pjesa më e vështirë. Gjeometria me të cilën është e njohur shumica prej nesh quhet gjeometri Euklidiane, dhe bazohet tek 5 të vërtetat e thjeshta vetë-evidente apo aksiomat. Është gjeometria e rregullt e linjave dhe pikave që ne mund të tërheqim në një dërrasë e zezë, dhe që për një kohë të gjatë është konsideruar si e vetmja mënyrë që gjeometria mund të funksionojë.
Megjithatë problemi është se të vërtetat vetë-evidente që Euklidi prezantoi mbi 2000 vjet më pare, nuk ishin dhe aq të qarta për të gjithë. Kishte një aksiomë (e njohur si postulati paralel) që nuk pranohej kurrë nga të gjithë matematikanët, dhe që për shekuj me radhë shumë njerëz u përpoqën ta pajtojnë me aksiomat e tjera. Në fillim të shekullit XVIII-të, u provua një qasje e re e guximshme:aksioma e pestë thjesht ndryshoi në diçka tjetër.
Në vend të shkatërrimit të gjithë sistemit të gjeometrisë, u zbulua një i ri që tanimë quhet gjeometria hiperbolike (ose Boljai-Lobaçevskian). Kjo shkaktoi një ndryshim të plotë të paradigmës në komunitetin shkencor, dhe i hapi dyert shumë llojeve të ndryshme të gjeometrisë jo-Euklidiane. Një nga llojet më të shquara quhet gjeometria Riemaniane, e cila përdoret për të përshkruar asgjë tjetër veç Teorisë së Relativitetit të Ajnshtajnit (është interesante që edhe universi ynë nuk i përmbahet gjeometrisë Euklidiane!).
4. Formula e Ojlerit
Formula e Oljerit është një nga rezultatet më të rëndëishme në këtë listë, dhe kjo për shkak të njërit prej matematikanëve më pjellorë që ka ekzistuar ndonjëherë, Leonard Oljer. Ai botoi mbi 800 artikuj studimorë gjatë gjithë jetës – shumë prej tyre ndërsa qe i verbër. Përfundimet e tij duken mjaft të thjeshta në shikim të parë:e ^ (i * pi) + 1 = 0. Për ata që nuk e dinë, si ‘e’ dhe ‘pi’ janë konstante matematikore të cilat vijnë në të gjitha llojet e vendeve të papritura, dhe ‘i’ është njësia imagjinare, një numër i barabartë me rrënjën katrore të -1.
Gjëja e mrekullueshme tek Formula e Ojlerit, është se si ajo arrin të kombinojë 5 nga numrat më të rëndësishëm në të gjithë matematikën (e, i, pi, 0 dhe 1) në një ekuacion elegant. Ajo është quajtur nga fizikanti Riçard Fejnmen si “formula më e shquar në matematikë”, dhe rëndësia qëndron tek aftësia e saj për bashkimin e shumë aspekteve të matematikës.
3. Makina Universale e Turingut
Ne jetojmë në një botë që është e dominuar nga kompjuterat. Ju jeni duke e lexuar këtë listë pikërisht në një kompjuter! Është e vetëkuptueshme që kompjuterat janë një nga shpikjet më të rëndësishme të shekullit XX-të, por ju mund të habiteni kur të mësoni se kompjuterat në thelbin e tyre e kanë fillesën tek fusha e mathematikës. Matematikani (dhe gjithashtu thyesi i kodit gjerman të Luftës së Dytë Botërore) Alan Turing, zhvilloi një objekt teorik që u quajt Makina Turing.
Një Makinë Turing është si një kompjuter themelor:përdor një varg të pafundëm shirit kasete dhe 3 simbole (le të themi 0, 1, dhe bosh), dhe pastaj vepron duke dhënë një sërë udhëzimesh. Këto mund të jenë për të ndryshuar një 0 për një 1 dhe për të shkuar në një hapësirë në të majtë, apo për të mbushur një pjesë bosh dhe për të shkuar një hapësirë në të djathtë.
Në këtë mënyrë një Makinë Turing mund të përdoret për të kryer ndonjë funksion të mirëpërcaktuar. Turing vazhdoi me përshkrimin e një Makinerie të Kthesës Universale, e cila është një Makinë Turing që mund të imitojë çdo lloj makinerie të tillë me çfarëdolloj inputi. Ky është në thelb koncepti i një kompjuteri që e ruan programin. Duke mos përdorur asgjë tjetër, veç matematikës dhe logjikës, Turingu krijoi fushën e shkencës së llogaritjes, para të ishte e mundur që teknologjia të ndërtonte një komputer.
2. Nivelet e ndryshme të pafundësisë
Pafundësia është tashmë një koncept mjaft i vështirë për t’u kuptuar. Njerëzit nuk janë të prerë për të kuptuar pafundësinë, dhe për këtë arsye ajo është trajtuar gjithmonë me kujdes nga matematikanët. Kjo situatë vazhdoi deri në gjysmën e dytë të shekullit të XIX-të kur Georg Kantor zhvilloi degën e matematikës të njohur si Teoria e Grupit (e kujtoni paradoksin e Rasëllit?), një teori që e lejoi atë të peshojë natyrën e vërtetë të pafundësisë.
Dhe ajo që zbuloi qe me të vërtetë tronditëse. Siç rezulton, sa herë që ne imagjinojmë pafundësinë, ka gjithmonë një lloj të ndryshëm të pafundësisë që është më e madhe se kaq. Niveli më i ulët i pafundësisë është shuma e numrave të plotë (1,2,3 …), dhe një pafundësi të llogaritshme. Me disa arsyetime shumë elegante, Kantor konstatoi se ekziston një tjetër nivel i pafundësisë pas kësaj, pafundësia e të gjithë numrave reale (1, 1.001, 4.1516 … në thelb çdo numri që mund të mendoni).
Kjo lloj pafundësie është e panumërueshme, që do të thotë se edhe nëse do të kishit të gjithë kohën e universit, s’do të mund të listonit dot kurrë të gjithë numrat realë, pa humbur disa prej tyre. Por prisni, del se pas kësaj ka edhe më shumë nivele të pafundësisë së panumërueshme. Sa? Sigurisht një numër i pafundëm.
1. Teorema e paplotësisë e Gëdelit
Në vitin 1931, matematikani austriak Kurt Gëdel, provoi dy teorema që tronditën botën matematikës në thelbin e vet, pasi së bashku ato treguan diçka mjaft dekurajuese:matematika nuk është, dhe s’do të jetë kurrë e plotë. Pa hyrë në detaje teknike, Gëdel tregoi se në çdo sistem formal (si një sistem i numrave natyrore), ka disa deklarata të vërteta në lidhje me sistemin, të cilat nuk mund të vërtetohen nga vetë sistemi.
Në thelb, ai tregoi se është e pamundur për një sistem aksiomatik të jetë plotësisht i vetë-përmbajtur, çka ishte kundër të gjitha supozimeve të mëparshme matematikore. Nuk do të ketë kurrë një sistem të mbyllur që përmban gjithçka nga matematika – vetëm sistemet që bëhen gjithnjë e më të mëdha, teksa ne përpiqemi pa sukses t’i bëjmë ato të plota. /Bota.al
