Koncepti i zeros është në bazë të dijes së zakonshme. Por përpara se të shfaqej dhe t’i jepte jetë një revolucioni, i është dashur të kalojë shekuj të tërë shpërfillje, frikë dhe mosbesim
Kisha shtatë dhi. Tre i shkëmbeva me misër. Tre ua dhashë dhuratë tre bijave të mia; njërën ma vodhën. Sa dhi më mbeten? Cuditërisht, për një pjesë të madhe të historisë së tij, njeriu nuk ka patur instrumentat matematikë për t’u përgjigjur.
Provat e para historike të llogarive i përkasin Egjiptit të 5 mijë viteve më parë. E megjithatë, edhe duke përshtatur definicionin më bujar, koncepti matematik i zeros ekziston prej vetëm 2500 vitesh. Edhe atëherë, qytetërimet që e zbuluan nuk ishin aspak në gjendje ta kuptonin. Në Europë, zhvillimi i tij u bllokua për shekuj prej indiferencës, miopisë apo frikës. Cfarë e ka penguar të imponohet?
Kjo është historia e gërshetuar e dy zerove: zeros si simbol i asgjësë dhe zeros si numër me cilësi matematike të dalluara që mund të përdoret në llogaritje. Ne na vjen natyrshëm t’i kosniderojmë si e njëjta gjë. Historia thotë të kundërtën.
Simboli i zeros ka qenë i pari që është shfaqur. Flasim për gërmën që jemi mësuar të lexojmë në brendësi të një numri, për shembull si në rastin e vitit ku jemi, 2012. Në këtë rast zero ka funksionin e shenjës në brendësi të një numeracioni të dhënë: karakteristika e saj themelore është që t’i japë vlerë një shifre sipas pozicionit që zë. Marrim 2012: “2” shfaqet dy herë, një herë nënkupton 2 dhe herën tjetër nënkupton “2000”. Kjo sepse ne përdorim sistemin numerik dhjetor: spostimi i një pozicioni nnë të majtë të një numri nënkupton që vlera e atij numri shumëzohet me 10.
Pikërisht nëpërmjet këtij mekanizmi vija numerike “2012” merr cilësitë e një numri me vlerë të barabartë me 2 x 10 në fuqi të tretë + 0 x 10 në katror +1 x 10 + 2. Roli i zeros është shumë i rëndësishëm: po të mos ishte prania e saj e pangatërrueshme, mund të ngatërronim fare mirë 2012 me 212, apo me 20012, dhe llogaritë tona do të gabonin me qindra apo mijëra.
Sistemi i parë i numërimit pozicional u përdor për të llogaritur kalimin e stinëve dhe të viteve në Babiloni, në Irakun e sotëm, nga 1800 para Krishtit e më vonë. Baza nuk ishte 10 por 60. Nuk ekzistonte një simbol për cdo numër të plotë deri në bazë, ndryshe nga modeli “dinamik” i shifrave nga 1 në 9, që është buka e përditshme e sistemit tonë dhjetor. Ekzistonin vetëm dy simbole, 1 dhe 10, që vendoseshin në kombinime të ndryshëm për të numëruar maksimumi deri në 60. Për shembull, 2012 ishte 33 x 60 + 32, domethënë paraqitej përmes dy grupesh simbolesh të afërt: një grup i përbërë nga 3 10-a dhe 3 1-sha; dhe një grup i dytë i përbërë nga tre 10-a dhe dy 1-sha. Por përgjithësisht, gjatë 15 shekujve të parë të numërimit pozicional babilonian, mungesa e cdo shumëfishi të 60-es të cfarëdolloj numri nuk shenjohej me një simbol, por vetëm nga një hapësirë boshe. Nuk dimë çfarë ndryshoi në vitin 300 para Krishtit, ndoshta konfuzioni i madh në pozicionin e numrave. Duket se pikërisht përreth atij viti një simbol i tretë, një kombinim i çuditshëm i dy shigjetave me prirje nga e majta, nisi të plotësojë hapësirat boshe në llogaritjet e astronomëve.
Ishte zeroja e parë e historisë. Pothuajse 7 shekuj më vonë, në anën tjetër të botës, zeroja u shpik për herë të dytë. Astronomët Maja të Amerikës qendrore nisën të përdorin një simbol të ngjashëm me një kërmill për të plotësuar vendet bosh në brendësi të sistemit pozicional vigesimal që përdornin për të llogaritur kalendarin e tyre.
Zeroja si tregues pozicioni ishte qartësisht një koncept i nevojshëm. As babilonianët dhe as majat nuk ishin vetëdijësuar se sa i dobishëm ishte. Bëhet fjalë për një aspekt sa irritues aq edhe tipik të historisë së trazuar të zeros. Në çdo sistem të numërimit pozicional dinamik, zero merr në mënyrë pothuajse të heshtur një funksion të ri: bëhet një “operator” matematik që shpreh fuqinë e plotë në bazë të sistemit. Kjo bëhet e dukshme nëse konsiderojmë rezultatin që marrim duke i shtuar një zero fundit të një vargu numerik dhjetor. Numri 2012 bëhet 20120, i shumëzuar në mënyrë magjike me bazën dhjetë. Shfrytësojmë me intuitë këtë cilësi sa herë që mbledhim dy apo më shumë numra dhe totali në kolonë kalon nga 9 në 10. “Marrim njëshin” dhe i shtojmë zeron për t’u siguruar për saktësinë e llogaritjes. Thjeshtësia e këtyre algoritmeve është sekreti i forcës dhe dobishmërisë së sistemit tonë të numrave. Nuk duhet të kapemi me babilonianët dhe majat përse nuk kanë kuptuar këtë gjë: ishte shumë e vështirë duke parë yçklat e shumta të sistemeve të tyre numerikë. Ja përse, ndonëse e zbuluan zeron si simbol, nuk e kishin kuptuar që ishte edhe një numër.
Përballë hiçit
Prania e zeros në panteonin e numrave nuk është e lehtë të pranohet. Zero u hap rrugë një serie kurthesh logjikë që, nëse nuk përballen me kujdes dhe vëmendje, rrezikojnë të shembin të gjithë sistemin numerik. Po ta mbledhësh zeron me vetveten, vlera e saj nuk rritet, ndryshe nga sa ndodh me të gjithë numrat e tjerë. Nëse shumëzohet me zero çdo lloj numri, rezultati është zero. Për të mos folur për atë që ndodh kur një numër pjesëtohet me zero.
Greqia e lashtë, qytetërimi pasardhës që përshtati konceptin e zeros, nuk ishte aspak gati të përballej me kompleksitetin. Mendimi grek ishte i lidhur me idenë që numrat shprehnin format gjeometrike; dhe çfarë forme mund t’i korrespondonte diçka që nuk ekzistonte? Zero mund të shprehte vetëm mungesën totale të diçkaje: hiçin, një koncept që kozmologjia dominuese e kohës e kish ndaluar. Sipas këtij koncepti, frut kryesisht i teorive të Aristotelit dhe dishepujve të tij, planetët dhe yjet ndodheshin në brendësi të një serie sferash qiellore me dimensione të fundme. Këto sfera përbëheshin nga një substancë eteri, rrotulloheshin të gjitha përreth Tokës dhe viheshin në lëvizje nga një “motor i palëvizshëm”. Ky përfaqësim u rrok në pjesën më të madhe nga filozofia kristiane, për të cilën ishte shumë e lehtë të identifikonte motorin e palëvizshëm me Zotin. Dhe duke qenë se në këtë kozmologji nuk kishte vend për hiçin, për asgjënë, si pasojë çdo gjë tjetër që lidhej me të ishte një koncept bosh.
Filozofia orientale, me idenë e saj të një cikli të pafundëm të krijimit dhe shkatërrimit, nuk kishte shqetësime të tillë. Dhe kështu etapa e radhës e udhëtimit të zeros ishte në lindje dhe jo në perëndim të Babilonisë. Gjenden gjurmë tek Brahmasphutasiddhanta, një traktat mbi marrëdhënien mes matematikës dhe botës fizike shkruar në Indi rreth vitit 628 nga astronomi Brahmagupta.
Ky ishte i pari që i trajtoi numrat si sasi abstrakte, të ndarë nga çdo realitet fizik apo gjeometrik. Kjo i mundësonte të merrej me pyetje pak ortodokse që babilonianët dhe grekët kishin injoruar dhe konsideruar si pak të rëndësishme, për shembull çfarë ndodh kur një numri i zbritet një numer më i madh. Në terma gjeometrikë është një absurd: cila mund të ishte sipërfaqja e mbetur nëse asaj i hiqet një sipërfaqe më e madhe? Në mënyrë analoge, si mund të shes apo të shkëmbej më shumë dhi nga sa kam? Kur numrat u shndërruan në realitete abstraktë, një botë e re u hap në horizont: ajo e numrave negativë.
Rezultat i këtij revolucioni ishte një linjë numerike e vazhdueshme që shtrihej në infinit në të dy drejtimet, me numra si pozitivë, si negativë. Në mesin e kësaj vije ishte një pikë e dallueshme, pika e hyrjes në të dy botët: sunya, boshllëku. Matematicienët indianë kishin guxuar të shihnin boshllëkun dhe të nxirrnin prej aty një numër të ri. Nuk kaloi shumë përpara se këtij numri të ri t’i vishej simboli i zeros. Në 662, një peshkop kristian sirian shkruante që matematicienët hindu i kryenin llogaritjet “për mesin e nëntë shenjave”, por jo më larg se dy shekuj më vonë mbi një mbishkrim në një tempull pranë kështjellës mesjetare të Gvalior në Indi, nëntë shenjat ishin bërë dhjetë. Një zero ishte bërë tashmë pjesë me të drejta të plota në një sistem numërimi pozicional dinamik që shkonte nga 0 në 9. Ishte lindja e sistemit numerik abstrakt, që sot përdoret në të gjithë botën. Prej aty nuk kaluan shumë kohë përpara se të vinte në jetë një mënyrë e re e të bërit matematikë: algjebra.
Kaluan disa vite përpara se lajmi i këtyre risive të vinte në Europë. Vetëm në 1202, një i ri italian, Leonardo nga Piza – i njohur më mirë si Fibonacci – botoi Liber Abaci, ku përshkruante sistemin arab të llogaritjeve që kishte parë gjatë një udhëtimi përgjatë brigjeve jugore të Mesdheut. Ky sistem numerik shkruante Fibonacci, ishte superior ndaj numëratorit për kryerjen e llogaritjeve komplekse. Nëse tregtarët dhe bankierët nuk do të lodheshin shumë për t’u bindur për dobinë e sistemit hindu-arab, autoritetet ishin më dyshues. Në vitin 1299, qyteti i Firences ndaloi përdorimin e numrave hindu-arabë, përfshirë zeron. Mundësia për të rritur shumë vlerën e një numri thjeshtë duke i shtuar një shifër në fund – një mundësi që nuk ekzistonte në sistemin dominues, jopozocional të numrave romakë – konsiderohej një thirrje e hapur për mashtrime.
Zero si numër pati jetë edhe më të vështirë. Ndryshime, revolta, reforma dhe kundër reforma brenda Kishës provokuan një debat të pafund mbi bazat e vizionit aristotelian të kozmosit, si dhe ortodoksinë e konceptit të asgjësë. Vetëm revolucioni kopernikas – që hodhi në erë idenë e sferave yjore me zbulimin që Toka rrotullohet përreth Diellit – filloi dalëngadalë të çlirojë matematicienët europianë nga shtrëngimet e kozmologjisë aristoteliane, duke filluar nga shekulli 16.
Motori i parë
Në shekullin 16 skena ishte tashmë gati për triumfin përfundimtar të zeros. Eshtë e vështirë të thuash se kur ishte momenti i saktë kur ndodhi kjo. Ndoshta ngjarja vendimtare ishte futja e sistemit të koordinatave shpikur nga filozofi dhe matematicieni francez, Rene Descartes. Sistemi kartezian bashkonte algjebrën dhe gjeometrinë duke i dhënë çdo forme gjeometrike një përfaqësim të ri simbolik, me zeron, zemrën e palëvizshme të sistemit të koordinatave, në qendër. Zeroja, përkundër asaj që kishin thënë grekët, nuk ishte aspak e parëndësishme në gjeometri: ishte themelore. Shumë shpejt, instrumentat e reja të llogaritjes do të demonstronin se për të shpjeguar çdo lëvizje minimale të kozmosit – të një ylli, një planeti, të një lepuri që kalon një breshkë – duhet kuptuar më parë se si zeroja shkrihet me pafundësisht të voglën. Zero ishte motori i parë.
Kuptimi i plotë i zeros u bë kështu thelbi i revolucionit të ardhshëm shencor. Zhvillimet e mëvonshëm konfirmuan se sa zeroja është themelore për matematikën dhe për çdo gjë që lidhet me të. Sot, kur shohim zeron në brendësi të një numri, nuk na shkakton asnjë efekt. Të mësuar me konceptin që në moshë të hershme, nuk arrijmë të kuptojmë madje se si mund të ketë qenë motiv për një konfuzon kaq të madh. Kur thuhet për shembull, shumë zhurmë për asgjë.
